闻名的麦凯猜测终获证明！数学家配偶终结了一个未解群论难题

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选自Quanta Magazine

作者：Leila Sloman

编译：杜伟、陈陈

故事始于 2003 年，一位名叫 Britta Späthen 的德国研讨生初次触摸到了麦凯猜测（McKay conjecture），这是数学群论中最大的未解难题之一。

作为群论的一个出名猜测，麦凯猜测由数学家约翰・麦凯（John McKay）于 1972 年提出，首要触及有限群的表明论，特别是关于群的不行约特征标的性质。

最开端， Britta Späthen 的方针并没有那么大。她期望证明一两个定理，逐步推进这一猜测的处理，就像她之前许多其他数学家所做的那样。但多年来，她一次又一次地被麦凯猜测招引。

像这样全神贯注地寻求如此困难的问题或许会损伤她的学术生计，但 Britta Späthen 仍是把一切的时刻都投入其间。之后，她认识了巴黎 Jussieu 数学研讨所的数学家 Marc Cabanes，后者遭到她的启示，也开端对麦凯猜测入神。在一同作业期间，两人坠入爱河，并终究组建了家庭。

数学中充满了极端杂乱的笼统目标，不行能完全对它们进行研讨。不过，数学家发现，一般只需检查此类目标的一小部分即可了解它们更广泛的特点。因而，当数学家想要了解一个极端杂乱的函数时，他们或许只需求检查它的一小部分或许输入的行为，就足以阐明该函数对一切或许的输入的效果。

麦凯猜测便是这样的典型比方，假如你想全面地描绘一个群（一个极端难以研讨的重要数学实体），你只需求看其间的一小部分就行了。

图（左）为 Britta Späth，（右）为 Marc Cabanes

自 20 世纪 70 时代提出这个猜测后，数十位数学家都曾测验进行证明。他们获得了部分发展，并在此进程中学到了许多关于群的常识（群是描绘数学体系中各种对称性的笼统目标）。可是，完好的证明好像依然遥不行及。

总算，在 Britta Späth 触摸麦凯猜测 20 年后、在她遇到 Marc Cabanes 十多年后，这对配偶总算完结了证明。当他们两人宣告效果时，搭档们都惊呆了。斯坦福大学的统计学与数学教授 Persi Diaconis 恭喜道，「经过多年的尽力研讨，她做到了，他们总算做到了。」

他们在 2024 年 7 月宣告了论文《The McKay Conjecture on character degrees》，文章篇幅有 68 页。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2410.20392

素数（primes）的力气

麦凯猜测始于对一个古怪偶然的调查。

在朋友的眼中，数学家约翰・麦凯是一位「才华横溢、说话轻声细语、令人入神」的人，他以能在意想不到的当地发现数值办法而出名。这位康考迪亚大学的数学家最出名的或许要属「怪物月光」猜测，该猜测在 1978 年提出，触及怪物群（Monster group）和模办法（modular forms）之间的奥秘联络。终究在 1992 年得到了证明，引起了数学界的广泛重视。

在约翰・麦凯逝世几年前，他还发现了许多其他重要的相关，其间许多都触及到了群。群是一组元素以及这些元素互相相关的规矩的结合，它能够被看作是对称性的调集，即以特定办法坚持一个形状、函数或其他数学目标不变的改换（transformation）。虽然群很笼统，但它们十分有用，而且在数学中发挥了核心效果。

1972 年，约翰・麦凯专心于有限群，即元素数量有限的群。他调查到，在许多状况下，你能够经过检查一个有限群中的很少部分元从来揣度该群的重要信息。而且，约翰・麦凯特别研讨了在原始群内部构成一个特别、较小群（被称为 Sylow 正则化子）（normalizer）的元素。

假定有一个包括 72 个元素的群，仅凭这一点不会告知你太多信息：这样巨细的群能有 50 个（每个都不同）。可是，72 能够写成素数（2 × 2 × 2 × 3 × 3）的乘积，即 2^3 × 3^2。一般来说，描绘群巨细所需求的不同素数越多，群就越杂乱。你能够在这些素数的根底大将群分解为更小的子群。

这儿，你能够别离得到具有 8 个（2^3）元素和 9 个（3^2）元素的子群。经过研讨这些子群，你能够了解更多有关整个群结构的信息，比方群由哪些构建块组成。

现在，取其间一个子群，并增加一些特定元素，以创立一个特其他子群 ——Sylow 正则化子。在这个 72 元素群中，你能够为每个「8 元素」和「9 元素」的子群构建对应的不同的 Sylow 正则化子，它们别离成为 2-Sylow 正则化子和 3-Sylow 正则化子。

Sylow 正则化子以及它们所构建的子群，能够告知数学家们许多关于原始群的信息。可是，约翰・麦凯假定这种联络比任何人幻想中的都要强壮，这就不再仅仅是经过 Sylow 正则化子洞悉一个有限群全体结构了。他断语，假如数学家想要核算一个能够协助他们描绘群的要害量，则只需检查一组特定 Sylow 正则化子中的一个即可：Sylow 正则化子将由完全相同的数值来表明。

该量用来核算某类「表明」的数量，你能够运用被称为矩阵的数字数组来重写群的元素。这样的计数或许看起来很随意，但它能让数学家了解群中的元素怎么互相相关，而且触及到了其他重要特点的核算。

至于为什么约翰・麦凯的量关于有限群及其 Sylow 正则化子来说应该总是相同的，好像没有充沛的理由来阐明。Sylow 正则化子或许只包括更大群中的一小部分元素。与此一起，Sylow 正则化子一般具有不同的结构。

这便是约翰・麦凯的估测，关于一切有限群都是如此。假如真是这样，那么数学家的日子就会变得轻松多了：Sylow 正则化子比它们的母群更简单处理。这也暗示着存在一个更深的数学真理，一个数学家没有把握的真理。

在约翰・麦凯初次调查到这一偶然的一年后，一位名叫 Marty Isaacs 的数学家证明了该偶然适用于一大类群。但随后，数学家们陷入了窘境。他们能够证明该偶然适用于某个或另一个特定的群，但还有无数个群需求证明。

因而，证明整个猜测好像十分困难。事实证明，此问题要想获得重要发展，需求数学家们处理史上最艰巨的数学难题之一。

麦凯猜测的一小步，群论的一大步

对有限群的一切构件进行分类，需求数千个证明，花 100 多年的时刻才干完结。但在 2004 年，数学家们总算成功地证明，一切的构建块都必须归于三类中的一类，不然就归于 26 个异常值。

长期以来，数学家们一向以为，一旦完结对有限群的分类，这将有助于简化比如麦凯猜测这样的问题。

可是，这需求有人证明这种战略的确可行。

就在有限群分类正式完结的那一年，Isaacs、Navarro 和 Gunter Malle 找到了从头表述麦凯猜测的正确办法，只需专心于一组较小的群。

关于这个新调集中的每个群，他们都必须展现一些比麦凯猜测提出的更强的东西。

Isaacs、Navarro 和 Malle 证明了，假如这个更强的陈说对这些特定的群建立，那么麦凯猜测对一切有限群都必定建立。

Gabriel Navarro 与两位搭档将群论中一个严重的敞开猜测转化为一个可处理的问题。

问题的打破口在于他们对问题的重构。尔后几年，数学家们使用这一打破处理了麦凯猜测的大部分状况。此外，这一办法还协助他们简化了其他触及经过部分研讨全体的问题。丹佛大学的数学家 Mandi Schaeffer Fry 表明，这一办法已成为处理许多猜测的重要蓝图。

可是，关于一类称为「李型群」的群，新版麦凯猜测仍是一个敞开问题。这些群的表明特别难以研讨，要证明它们之间的联系满意 Isaacs、Navarro 和 Malle 提出的条件十分具有挑战性。但 Malle 的一名研讨生 Britta Späth 正在研讨这一问题。

执着于一件事的 Britta Späth

2003 年，Britta Späth 来到卡塞尔大学，开端攻读博士学位。她几乎是为研讨麦凯猜测而生的：乃至在高中时，她就能花费数天乃至数周的时刻来研讨一个问题，她特别喜爱那些检测她意志的问题。

Britta Späth 投入了许多时刻深入研讨群表明理论。研讨生结业后，她决议使用自己在这方面的专业常识持续霸占麦凯猜测。「她有一种张狂但又十分超卓的直觉，」她的朋友兼合作者 Schaeffer Fry 表明。

几年后的 2010 年，Britta Späth 前往巴黎西岱大学作业，正是在那里她遇到了 Marc Cabanes。Britta Späth 经常去他的办公室讨教问题。

之后，Britta Späth 和 Marc Cabanes 一同开端着手证明每一个类别中的猜测，并在接下来的十年中报告了多项严重效果。

经过深入研讨他们对李型群有了深入的了解。在研讨进程中，他们开端往来，有了两个孩子，并终究在德国久居。

到 2018 年，他们只剩下一种李型群没有霸占。一旦完结这一类其他证明，他们就将证明麦凯猜测。

持续寻觅下一个执念

「霸占第四种李型群困难重重，令人意外的波折也许多」，Britta Späth 说。但终究，她和 Marc Cabanes 逐步证明了这些群的表明数量与它们的 Sylow 正则化子的表明数量相匹配 —— 而且这些表明的匹配办法满意了必要的规矩。总算，最终一个事例完结了。麦凯猜测的正确性也随之得以主动证明。

2023 年 10 月，在他们对自己的证明效果有了满足的决心后，他们总算在一个有 100 多名数学家的房间里宣告了这一效果。一年后，他们将证明进程发布到网上，供整个数学界消化。曼彻斯特大学的 Radha Kessar 点评说：这是一个肯定令人惊叹的成果。

现在，数学家们能够经过独自研讨群的 Sylow 正规化子来研讨群的重要性质。

在那之后，他们两人持续前行，寻觅他们的下一个执念。据 Britta Späth 泄漏，到目前为止，还没有任何问题像麦凯猜测那样深深地招引她。「当你完结了一件大事之后，再找到面临下一件大事的勇气和热心就变得很困难了，有时候这真的是一场战役。但一起，它也赋予了你每一天的含义。」

原文链接：https://www.quantamagazine.org/after-20-years-math-couple-solves-major-group-theory-problem-20250219/

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